О происхождении топологии и её практическом применении в различных областях науки поговорили на лекции «Топология: математика ХХ века» 27 июля в Информационном центре по атомной энергии (ИЦАЭ) Нижнего Новгорода.

Спикер – Данила Шубин, младший научный сотрудник международной лаборатории динамических систем и приложений кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ – Нижний Новгород. В своём докладе Данила рассказал о происхождении топологии и её практическом применении в физике, биологии и информатике, а также о её влиянии на развитие математики в целом.

Топология — это раздел математики, который изучает формы и структуры, которые изменяются, сохраняя при этом свои основные свойства. Отличительными чертами топологии являются понятия непрерывности и эквивалентности форм. Наука занимается изучением того, какие формы и структуры можно получить из других форм путём сгибаний, растягиваний, искажений и других непрерывных преобразований без нарушения их основных свойств.

Топологию называют резиновой геометрией: фигуры, которые получают друг из друга непрерывными деформациями, считаются равными. Такие деформации называются гомеоморфизмами. Например, сглаживая углы треугольника, его можно деформировать в круг, а затем, заостряя края круга, — в пятиугольник или любой другой выпуклый многоугольник, поэтому с точки зрения топологии все эти фигуры эквивалентны. Как наука топология оформилась в начале XX века и с 1925 по 1975 годы являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.

«Поговорим об одной из ключевых проблем, касающихся трёхмерных поверхностей. Они очень разные, но самая простая фигура для нас – это сфера, мы можем примерно её представить, пронаблюдать за её примерным центром. Однако на самом деле ни одну из трёхмерных фигур невозможно визуализировать. Максимум, что мы можем представить – это примерное пространство, в котором мы живём. Но всё еще хочется отделять трёхмерные поверхности друг от друга. Этим и занимается топология», – рассказал эксперт.

Первостепенной задачей топологии является задача классификации множества объектов, разделённых на классы по их свойствам, сохраняющимся при гомеоморфизме – изменениях фигуры. Решение этой задачи послужило важным стимулом для открытия тождества Эйлера, которое гласит, что соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника можно представить как В – Р + Г = 2. Таким образом, выражение слева является топологическим инвариантом (так как оно содержит характеристики объекта), результат справа – это эйлерова характеристика, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой и при этом гомеомерфны шару. В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца.

«До лекции я не слышала о топологии, узнала об этом слове впервые из анонса. Меня заинтересовали вопросы её использования в физике, поскольку я сама физик. Лекция показалась мне интересной, хоть местами было сложновато», — поделилась впечатлениями гостья вечера Василиса Прокопенко.

Весь июль в научных двориках ИЦАЭ Нижнего Новгорода и НИУ ВШЭ проходят научные лекции спикеров из разных областей знаний. Подробную информацию можно найти в группах ИЦАЭ и Вышки во «ВКонтакте».